Relatório de Matemática

Curva de Gauss ou Curva Normal



A distribuição normal é uma das mais importantes distribuições da estatística, conhecida também como Distribuição de Gauss ou Gaussiana. Foi desenvolvida pelo matemático francês Abraham de Moivre.
Além de descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros, possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita por seus parâmetros de média e desvio padrão, ou seja, conhecendo-se estes consegue-se determinar qualquer probabilidade em uma Normal.
Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve de aproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número de observações fica grande. Essa importante propriedade provem do Teorema Central do Limite que diz que "toda soma de variáveis aleatórias independentes de média finita e variância limitada é aproximadamente Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente grande" (ver o teorema para um enunciado mais preciso).

Função de densidade de probabilidade:

A função densidade de probabilidade da distribuição normal com média μ e variância σ2 (de forma equivalente, desvio padrão σ) é assim definida,
Se a variável aleatória X segue esta distribuição escreve-se: X ~ N(μ,σ2). Se μ = 0 e σ = 1, a distribuição é chamada de distribuição normal padrão e a função de densidade de probabilidade reduz-se a,

Propriedades:

Se X segue uma distribuição normal, então a X + b também segue.
Se X e Y são distribuições normais independentes, então sua soma U = X + Y, sua diferença V = X - Y ou qualquer combinação linearW = a X + b Y também são distribuições normais.
É fácil construir exemplos de distribuições normais X e Y dependentes (mesmo com correlação zero) cuja soma X + Y não é normal. Por exemplo, seja X uma distribuição normal padrão (média 0 e variância 1), então fixando-se um número real positivo a, seja Ya definida como X sempre que X <>

Distribuições relacionadas

R˜Rayleigh(σ2) é a distribuição de Rayleigh se onde X˜N(0,σ2) e Y˜N(0,σ2) são duas distribuições normais independentes.
é a distribuição Chi-quadrado com ν graus de liberdade se em que Xk˜N(0,1) para são distribuições normais padrão independentes.
Y˜Cauchy(μ = 0,θ = 1) é a distribuição de Cauchy se Y = X1 / X2 para X1˜N(0,1) e X2˜N(0,1) são duas distribuições normais padrão independentes.
Y˜Log-N(μ,σ2) é a distribuição log-normal se Y = eX e X˜N(μ,σ2).
Relação com Lévy skew alpha-stable distribution: se então X˜N(μ,σ2).
Distribuição normal truncada: Se X˜N(μ,σ2) então, truncando para valores entre A e B temos uma variável aleatória contínua com média , em que , e , sendo a função densidade de probabilidade e a função de probabilidade acumulada de uma distribuição normal padrão.

Simulação

Implementações computacionais do Método de Monte Carlo normalmente precisam simular várias variáveis aleatórias normais. Muitos programas e pacotes não conseguem simular diretamente a normal, mas têm simuladores da distribuição uniforme. Uma forma rápida e prática de gerar normais a partir da uniforme é a transformação de Box-Muller: sejam U1 e U2 valores independentes gerados pela distribuição uniforme entre 0 e 1. Então:
e
são normais padronizadas independentes.


Linguagens de programação

Várias linguagens de programação, planilhas e pacotes estatísticos incluem simulações da normal.
No Excel, não existe uma função que gere normais. Isto pode ser contornado:
Usando-se a função ALEATÓRIO() e invertendo a distribuição acumulada: INV.NORMP(ALEATÓRIO())
Com Ferramentas -> Análise de Dados -> Geração de números aleatórios, geram-se normais, que se tornam constantes na planilha
Em R (linguagem de programação), um vetor de n normais é gerado por rnorm(n).
Em Matlab e Octave, uma matriz n x n de normais é gerada por randn(n). Uma matriz m x n é gerada por randn([m n]).